平面向量共线定理证明

平面向量共线定理证明

如果 a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得 b=λa。

证明:

1)充分性,对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由 实数与向量的积的定义 知,向量a与b共线。

2)必要性,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b =λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=-λa。如果b=0,那么λ=0。

3)唯一性,如果 b=λa=μa,那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0,所以 λ=μ。

证毕。

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